Come calcolare il volume di una calotta sferica usando il calcolo

L'approccio di calcolo generale nel calcolo dei volumi di oggetti con superfici curve si basa sulla teoria principale dell'integrazione. In sostanza, l'oggetto tridimensionale viene tagliato in sezioni più piccole e più piccole e si avvicina al volume di ciascuna di queste porzioni utilizzando una forma più semplice. Per trovare il volume di un cappuccio sferico, la formulazione più semplice è immaginare una pila di cilindri larghi e corti uno sopra l'altro. Il volume viene calcolato come l'altezza di ciascuno di questi cilindri a zero, generando approssimazioni più accurate.

Scrivere l'integrale

Determina il diametro o il raggio del tuo cappello sferico nella sua parte più ampia.

Determina l'altezza del cappuccio sferico.

Crea la radice quadrata dei numeri nei passaggi 1 e 2 e aggiungili. Dividi questo numero di due volte il numero nel passaggio 2. Questo ti dà R, il raggio della sfera da cui è stato tagliato il cappuccio sferico.

Scrivi "V =", seguito dal simbolo di integrazione.

Sottrarre il numero calcolato nel passaggio 2 di R e scrivere questo numero nella parte inferiore del simbolo di integrazione.

Scrivi il valore di R nella parte superiore del simbolo di integrazione.

Scrivi pi, seguito da una parentesi, dopo il simbolo di integrazione.

Crea la radice quadrata del valore di R, e scrivilo dopo le parentesi, seguito dal segno meno.

Scrivi "x ^ 2", seguito dalle parentesi di chiusura. Basta scrivere l'integrale con "dx".

Valutare l'integrale

Moltiplicate il pi greco tra parentesi, risultando in pi * x ^ 2 sottratto da una costante.

Valutare il primo termine dell'integrale moltiplicando la costante per l'altezza del limite sferico (in realtà, R - a, i due estremi dell'integrale) e spostandolo all'esterno dell'integrale. L'equazione deve ora essere nella forma "V = C (R - a) - [integrale definito da a a R] pi * x ^ 2 dx", dove C è la radice quadrata di R volte pi, e R è l'altezza del cappello sferico.

L'integrale rimanente valuta 1 / 3_pi_ (R ^ 3), 1 / 3_pi_ (a ^ 3). Quindi, la formula generale per il volume di un cappuccio sferico è V = C (R - a), 1 / 3_pi_ (R ^ 3) + 1 / 3_pi_ (a ^ 3), dove C sono già come descritto in Passo 2 e R è come descritto al punto 3 della sezione precedente.

Sostituendo R meno l'altezza del cappuccio sferico ("h") per a, valutando i cubi e semplificando i risultati in V = 1 / 3_pi_h ^ 2 * (3R - h), la formula algebrica standard per il volume di un berretto sferico.